A Espiral de Ulam e o Gênio de Euler

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Olhe para os pontos acima. Não são aleatórios, de fato representam um padrão de importância fundamental para a computação, a tecnologia e a economia mundial. E embutem um pequeno, ou enorme, mistério.
Primeiro, o mistério, que deve ser o mais curioso. Olhe de novo para os pontos acima. Consegue enxergar algum padrão, alguma característica que se destaque? Algo como… uma série de linhas diagonais? É esse o pequeno, ou enorme, mistério.
E então, o que a série representa. É uma Espiral de Ulam, criada pelo polonês Stanislaw que, entediado, rabiscou-a em um papel (isso ele fez nas horas vagas, durante o trabalho inventou a bomba de hidrogênio e a propulsão nuclear por pulsos, entre outras coisas).
O grafo representa a série de números primos como pontos em uma espiral começando com o número 1 no centro e desenrolando-se a partir daí:
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Ulam logo notou as diagonais que saltam tanto aos olhos, e surpreendeu-se, porque não se conhece qualquer razão trivial para tantas delas, que continuam ocorrendo mesmo quando a espiral é estendida a números incrivelmente grandes. Mistério.
Ou não? Você pode pensar a princípio que, como todos os números primos são ímpares — exceto o 2 –, é de se esperar que números primos adjacentes na espiral só o podem ser na diagonal. Na vertical e horizontal, números ímpares estão cercados por números pares. E estará certo ao pensar assim.
Contudo, números primos podem encontrar outros números primos a duas casas adjacentes em praticamente todas as direções. Também poderiam surgir padrões a partir daí, mas aparentemente, não é o que ocorre, pelo menos não de forma tão comum quanto as diagonais próximas.
Elas, por sua vez, se relacionam com uma curiosidade descoberta em sua forma inicial pelo prodígio Euler, de que o polinômio 4n^2 + bn + c gera uma grande quantidade de números primos a partir de números consecutivos. Por quê? Não há uma resposta clara para todas as soluções (para a de Euler, há um tanto), até porque — e este é o gigantesco mistério — não existe nenhuma forma trivial de gerar todos os números primos.
Os primos são um dos fundamentos da teoria de números e o pilar que permite a criptografia e, assim, a segurança de sistemas computacionais modernos. As chaves de segurança trocadas quando você usa o banco online só são seguras graças aos números primos. Há muitas curiosidades a respeito deles, e as diagonais na espiral de Ulam podem ser apenas mais uma, sem nenhuma razão em especial.
Ou não. Há diversas questões fundamentais em aberto na matemática, boa parte delas está relacionada com os primos e uma delas pode um dia explicar a espiral de Ulam. Em outras palavras, estas diagonais podem representar um padrão relacionado com alguma série de equações e termos que podem revolucionar a matemática, e quebrar todas as senhas de computador do mundo.
Seja como for, por enquanto já há pelo menos uma grande utilidade pública para a espiral. Com esta representação gráfica, qualquer um pode ver um padrão matemático que antes só era visível claramente a um prodígio fabulosamente extraordinário como Euler (como ele enxergou tal padrão, ninguém sabe).
Isso é tanto um atestado de nossa capacidade coletiva, como seres humanos, de reconhecer padrões — ver essas diagonais “saltando aos olhos” não é uma tarefa tão trivial — quanto nossa potencialidade individual fabulosa, representada aqui pelo gênio suíço. Para ele, não foi preciso desenhar.
Se isso por si só já não é fascinante, então apelemos para o “místico”. Arthur C. Clarke, anos antes de Ulam, descreveu o padrão diagonal nos primos. Mas o fez em sua obra de ficção científica, “A Cidade e as Estrelas”, sem jamais desenhar o padrão em si mesmo, sem nem mesmo desconfiar que o padrão de fato existia.
Perguntado muito depois sobre de onde havia saído aquele trecho presciente, Clarke respondeu que “depois de meio século eu não tenho idéia do que me fez pensar nisso“. Talvez nem Euler.
Mais:
A whirlpool of numbers

Discussão - 7 comentários

  1. Igor Santos disse:

    Eu enxergo uma linha branca do meio para baixo e outra para a direita e, gestalticamente, uma para cima e outra para a esquerda.
    Será que quebrei algum código?

  2. Patola disse:

    Porra, Kentaro. Você é doente [encare como um elogio]. Fui tentar entender a tal espiral e fiquei com dor de cabeça.

  3. antonio disse:

    A espiral è simples, possui toda ordem das coisas, bem mais que possamos regrar na matemateca ,ela é 95% intuitiva,gerando vórtices de planos e dimensoes de infinita grandeza

  4. ygor canute disse:

    Fascinante! Será que existe um significado maior para esse padrão?
    E quanto a Arthur C. Clarke mais um vez a frente do seu tempo!

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