Terminei de ler… O último teorema de Fermat.
Muitas vezes precisamos estar maduros para aprender algumas coisas. Ainda que pareçam simples. E ainda que sejam. Sua profundidade nos alcança apenas depois de termos acumulado algum, ou muito, ou um certo tipo de conhecimento. Essa foi minha impressão com “O último teorema de Fermat” do físico e jornalista britânico Simon Singh. Lê-lo anos atrás não teria me causado tamanho espanto e deleite com a beleza da matemática, como me causou agora.
O livro conta histórias da matemática, não só para apresentar ao leitor o contexto em que o teorema extremamente simples foi criado, mas também para familiarizar o leitor com as técnicas matemáticas (e seus inventores) que foram utilizadas nas inúmeras tentativas de resposta e, finalmente, na solução apresentada pelo matemático inglês Andrew Wiles.
Abre parênteses: O teorema de Fermat é uma variação do famoso teorema de Pitágoras que todos aprenderam em trigonometria na escola: a2+b2=c2, e que é muito útil em geometria. Só que substituindo o valor da potência por qualquer outro número maior que 2, o resultado é o ‘monstrengo matemático’ an+bn=cn, que devorou algumas das mentes mais brilhantes da história. Fecha parênteses.
São essas histórias, mais que a epopéia de Wiles em si (já que a matemática que ele usou está além das capacidades de nós, meros mortais, e por isso é pouco discutida e pouco contribui para o enredo), que ilustram e dão a idéia do tamanho do desafio e do brilhantismo da descoberta. E que tornam o livro tão fascinante. Entre elas eu escolhi 3 para dividir com vocês. A primeira é a identificação, por Pitágoras, de que relações numéricas simples são as responsáveis pela harmonia na música:
“[Ele] aplicou sua nova teoria de proporções musicais à Lira, examinando as propriedades de uma única corda. Tocando simplesmente uma corda,temos uma nota padrão, que é produzida pela vibração da corda inteira. Prendendo a corda em determinados pontos de seu comprimento é possível produzir outras vibrações ou notas (…). As notas harmônicas ocorrem somente em pontos muito específicos. Por exemplo, fixando a corda num ponto correspondente à metade do seu comprimento, ela produz, ao ser tocada, uma nota que é uma oitava mais alta e em harmonia com a nota original. De modo semelhante, se prendermos a corda em pontos correspondentes a um terço, um quarto e um quinto do seu comprimento, produziremos outras notas harmônicas. Já se prendermos a corda em outros pontos que não formam uma fração simples do seu comprimento, a nota produzida não se harmoniza com as outras.”
A segunda é como Alan Turing estabeleceu os princípios da computação aplicando a ‘teoria dos jogos’ a ‘quebra de códigos’ durante a segunda guerra:
“Em especial, ele queria saber se havia um meio de definir quais as perguntas que eram ou não decidíveis e tentou desenvolver um meio metódico de responder a esta pergunta. Naquela época os aparelhos de cálculo eram primitivos e efetivamente inúteis para a matemática séria. Assim Turing baseou suas idéias no conceito de uma máquina imaginária capaz de computação infinita. Está máquina hipotética, capaz de consumir quantidades infinitas de fita telegráfica, poderia computar durante toda a eternidade e era tudo de que ele necessitava para explorar suas perguntas abstratas de lógica., O que Turing não percebia era que sua mecanização imaginária de questões hipotéticas iria levar a um avanço fantástico na realização de cálculos reais em máquinas de verdade.”
Mas a terceira foi a mais importante pra mim e a que eu considero que todo cientísta, iniciante ou senior, estudante ou avançado, deve ter em mente: A descoberta por Pitágoras da ‘prova definitiva’, e a diferença entre o conceito de prova científica e prova matemática.
“Em matemática, o conceito de prova é muito mais rigoroso e poderoso do que o que usamos em nosso dia-a-dia e até mesmo mais preciso do que o conceito de prova como entendido pelos físicos e químicos. A diferença entre a prova científica e a prova matemática é ao mesmo tempo sutil e profunda. (…) A idéia da demonstração matemática clássica começa com uma série de axiomas, declarações que julgamos serem verdadeiros ou que são verdades evidentes. Então, através da argumentação lógica, passo a passo, é possível chegar a uma conclusão. Se os axiomas estiverem corretos e a lógica for impecável, então a conclusão será inegável. Esta conclusão é o teorema.
Os teoremas matemáticos dependem deste processo lógico, e uma vez demonstrados eles serão considerados verdade até o final dos tempos. A prova matemática é absoluta. Para apreciar o valor da prova matemática devemos compará-las com sua prima pobre, a prova científica. Na ciência, apresenta=se uma hipótese para explicar um fenômeno físico Se as observações do fenômeno são favoráveis à hipótese, então elas se tornam evidências a favor dela. Além disso, a hipótese não deve meramente descrever um fenômeno conhecido, mas também prever os resultados de outros fenômenos. Experiências podem ser feitas para testar a capacidade da hipótese em prever os resultados, e se o resultado for bem-sucedido teremos mais evidências para apoiar a hipótese. Por fim, a soma das evidências pode ser tão grande que a hipótese passará a ser aceita como teoria científica.
Contudo, uma teoria científica nunca pode ser provada do mesmo modo absoluto quanto um teorema matemático. ela é meramente considerada como altamente provável, com base nas evidências disponíveis. A assim chamada prova científica depende da observação e da percepção, e ambas são falíveis, fornecendo somente aproximações em relação à verdade. Como disse certa vez Bertrand Russel: “Embora isto possa parecer um paradoxo, toda ciência exata é dominada pela idéia da aproximação.” Até mesmo as ‘provas’ científicas mais aceitas possuem um pequeno elemento de dúvida dentro delas. Às vezes esta dúvida diminui, mas nunca desaparece completamente. E e outras ocasiões descobre-se que a prova estava errada. Esta fraqueza das provas científicas leva às revoluções na ciência, quando uma teoria que se considerava correta é substituída por outra, a qual pode ser meramente um aperfeiçoamento da teoria original, ou pode ser sua completa contradição.”
A história do criador de enigmas Pierre de Fermat e do homem (do Nerd) que solucionou o problema mais famoso da matemática Andrew Wiles é uma história de homens e mulheres em busca da verdade e do conhecimento, mais do que da fama e do reconhecimento. É um exemplo da perseverança do espírito humano. É fascinante e é obrigatória para todo mundo que faz e gosta de ciência.
O livro conta histórias da matemática, não só para apresentar ao leitor o contexto em que o teorema extremamente simples foi criado, mas também para familiarizar o leitor com as técnicas matemáticas (e seus inventores) que foram utilizadas nas inúmeras tentativas de resposta e, finalmente, na solução apresentada pelo matemático inglês Andrew Wiles.
Abre parênteses: O teorema de Fermat é uma variação do famoso teorema de Pitágoras que todos aprenderam em trigonometria na escola: a2+b2=c2, e que é muito útil em geometria. Só que substituindo o valor da potência por qualquer outro número maior que 2, o resultado é o ‘monstrengo matemático’ an+bn=cn, que devorou algumas das mentes mais brilhantes da história. Fecha parênteses.
São essas histórias, mais que a epopéia de Wiles em si (já que a matemática que ele usou está além das capacidades de nós, meros mortais, e por isso é pouco discutida e pouco contribui para o enredo), que ilustram e dão a idéia do tamanho do desafio e do brilhantismo da descoberta. E que tornam o livro tão fascinante. Entre elas eu escolhi 3 para dividir com vocês. A primeira é a identificação, por Pitágoras, de que relações numéricas simples são as responsáveis pela harmonia na música:
“[Ele] aplicou sua nova teoria de proporções musicais à Lira, examinando as propriedades de uma única corda. Tocando simplesmente uma corda,temos uma nota padrão, que é produzida pela vibração da corda inteira. Prendendo a corda em determinados pontos de seu comprimento é possível produzir outras vibrações ou notas (…). As notas harmônicas ocorrem somente em pontos muito específicos. Por exemplo, fixando a corda num ponto correspondente à metade do seu comprimento, ela produz, ao ser tocada, uma nota que é uma oitava mais alta e em harmonia com a nota original. De modo semelhante, se prendermos a corda em pontos correspondentes a um terço, um quarto e um quinto do seu comprimento, produziremos outras notas harmônicas. Já se prendermos a corda em outros pontos que não formam uma fração simples do seu comprimento, a nota produzida não se harmoniza com as outras.”
A segunda é como Alan Turing estabeleceu os princípios da computação aplicando a ‘teoria dos jogos’ a ‘quebra de códigos’ durante a segunda guerra:
“Em especial, ele queria saber se havia um meio de definir quais as perguntas que eram ou não decidíveis e tentou desenvolver um meio metódico de responder a esta pergunta. Naquela época os aparelhos de cálculo eram primitivos e efetivamente inúteis para a matemática séria. Assim Turing baseou suas idéias no conceito de uma máquina imaginária capaz de computação infinita. Está máquina hipotética, capaz de consumir quantidades infinitas de fita telegráfica, poderia computar durante toda a eternidade e era tudo de que ele necessitava para explorar suas perguntas abstratas de lógica., O que Turing não percebia era que sua mecanização imaginária de questões hipotéticas iria levar a um avanço fantástico na realização de cálculos reais em máquinas de verdade.”
Mas a terceira foi a mais importante pra mim e a que eu considero que todo cientísta, iniciante ou senior, estudante ou avançado, deve ter em mente: A descoberta por Pitágoras da ‘prova definitiva’, e a diferença entre o conceito de prova científica e prova matemática.
“Em matemática, o conceito de prova é muito mais rigoroso e poderoso do que o que usamos em nosso dia-a-dia e até mesmo mais preciso do que o conceito de prova como entendido pelos físicos e químicos. A diferença entre a prova científica e a prova matemática é ao mesmo tempo sutil e profunda. (…) A idéia da demonstração matemática clássica começa com uma série de axiomas, declarações que julgamos serem verdadeiros ou que são verdades evidentes. Então, através da argumentação lógica, passo a passo, é possível chegar a uma conclusão. Se os axiomas estiverem corretos e a lógica for impecável, então a conclusão será inegável. Esta conclusão é o teorema.
Os teoremas matemáticos dependem deste processo lógico, e uma vez demonstrados eles serão considerados verdade até o final dos tempos. A prova matemática é absoluta. Para apreciar o valor da prova matemática devemos compará-las com sua prima pobre, a prova científica. Na ciência, apresenta=se uma hipótese para explicar um fenômeno físico Se as observações do fenômeno são favoráveis à hipótese, então elas se tornam evidências a favor dela. Além disso, a hipótese não deve meramente descrever um fenômeno conhecido, mas também prever os resultados de outros fenômenos. Experiências podem ser feitas para testar a capacidade da hipótese em prever os resultados, e se o resultado for bem-sucedido teremos mais evidências para apoiar a hipótese. Por fim, a soma das evidências pode ser tão grande que a hipótese passará a ser aceita como teoria científica.
Contudo, uma teoria científica nunca pode ser provada do mesmo modo absoluto quanto um teorema matemático. ela é meramente considerada como altamente provável, com base nas evidências disponíveis. A assim chamada prova científica depende da observação e da percepção, e ambas são falíveis, fornecendo somente aproximações em relação à verdade. Como disse certa vez Bertrand Russel: “Embora isto possa parecer um paradoxo, toda ciência exata é dominada pela idéia da aproximação.” Até mesmo as ‘provas’ científicas mais aceitas possuem um pequeno elemento de dúvida dentro delas. Às vezes esta dúvida diminui, mas nunca desaparece completamente. E e outras ocasiões descobre-se que a prova estava errada. Esta fraqueza das provas científicas leva às revoluções na ciência, quando uma teoria que se considerava correta é substituída por outra, a qual pode ser meramente um aperfeiçoamento da teoria original, ou pode ser sua completa contradição.”
A história do criador de enigmas Pierre de Fermat e do homem (do Nerd) que solucionou o problema mais famoso da matemática Andrew Wiles é uma história de homens e mulheres em busca da verdade e do conhecimento, mais do que da fama e do reconhecimento. É um exemplo da perseverança do espírito humano. É fascinante e é obrigatória para todo mundo que faz e gosta de ciência.
